1.
i
В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, CH — высота, проведенная к гипотенузе, 
∠BCH = 30°. Для начала каждого из предложений А−В подберите его окончание 1−6 так, чтобы получилось верное утверждение.
НАЧАЛО ПРЕДЛОЖЕНИЯ
A) Длина стороны ВС треугольника АВС равна ...
Б) Длина стороны АС треугольника АВС равна ...
B) Расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника ABC
до стороны AB равно ...
ОКОНЧАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Ответ запишите в виде сочетания букв и цифр, соблюдая алфавитную последовательность букв левого столбца. Помните, что некоторые данные правого столбца могут использоваться несколько раз или не использоваться вообще. Например: А1Б1В4.
и 
Из прямоугольного треугольника CBA получаем 
и 
следовательно, 
где p — полупериметр треугольника ABC, S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, откуда третья сторона треугольника равна 
Из условия задачи имеем:
Уравнение окружности 
Получаем систему уравнений:
откуда 
Разберем случаи.
но тогда 
тогда
то 
и 
Укажите номер верного утверждения для сторон треугольника.
Значит, 
— равнобедренный, а стороны AB и BC равны. Поскольку в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, заключим, что 
и 
Используя данные рисунка, найдите градусную меру угла ANM четырехугольника ABMN.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, 
Угол ANM вертикальный с найденным. Значит, он равен 
Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
AD = DC.
CH и CK — высота и медиана соответственно, проведенные к гипотенузе (см. рис.). Найдите площадь прямоугольного треугольника ACB, если CK = 8, 
а CK = 8, получаем, что CH = 6. Отрезок CK — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, длина CK равна половине длины гипотенузы, тогда длина гипотенузы равна 2CK = 16. Площадь треугольника ACB равна 
Найдите длину стороны CB.
Из теоремы Пифагора:
Подставим одно выражение в другое и решим уравнение: 
и радиус окружности, описанной вокруг AED равен 10.
Из соотношения 
из основного тригонометрического тождества.
и 
и треугольники M1K1P1 и MKP подобны, получаем 
Тогда 
Тогда точка B обойдет периметр 56 раз.
Заметим, что AC является проекцией наклонной KC на плоскость ABC и AC
BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах KC
Известно, что 
Тогда 
Из подобия треугольников имеем: 
и 
По отрезку из точек В и D одновременно навстречу друг другу с постоянными и неравными скоростями начали движение два тела, которые встретились в точке пересечения биссектрис треугольника АВС и продолжили движение, не меняя направления и скорости. Первое тело достигло точки D на 1 минуту 14 секунд раньше, чем второе достигло точки В. За сколько секунд второе тело прошло весь путь от точки D до точки В?
По свойству биссектрисы получаем, что 
Значит, если 
то 
Значит, можно считать, что скорость первого тела равна 5υ, а второго 3υ. Время движения обратно пропорционально скорости, из условия следует, что 
откуда 
BH и BK — высота и медиана соответственно, проведенные к гипотенузе (см. рис.). Найдите площадь прямоугольного треугольника ABC, если BK = 7, 
а BK = 7, получаем, что BH = 5. Отрезок BK — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, длина BK равна половине длины гипотенузы, тогда длина гипотенузы равна 2BK = 14. Площадь треугольника ABC равна
поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Поэтому:
Площадь треугольника, с одной стороны, равна половине произведения катетов, а с другой — половина произведения высоты на сторону, к которой проведена высота. Имеем:
По теореме Пифагора найдем 
значит, треугольник прямоугольный.
значит, треугольник тупоугольный.
значит, треугольник прямоугольный.
значит, треугольник остроугольный.
значит, треугольник тупоугольный.
— все углы разные.
— все углы разные.
— треугольник равнобедренный.
— все углы разные.
— все углы разные.